Question

5．已知a，b，c全为正数，且a+b+c=1，求证：
（1）$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤1；
（2）a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由条件，运用基本不等式，再由累加法即可得证；
（2）由a+b+c=1两边平方，再由基本不等式即可得证．

解答 证明：（1）由a，b，c全为正数，且a+b+c=1，
可得$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{bc}$≤$\frac{b+c}{2}$，$\sqrt{ca}$≤$\frac{c+a}{2}$，
累加可得$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤$\frac{a+b}{2}$+$\frac{b+c}{2}$+$\frac{c+a}{2}$
=a+b+c=1（当且仅当a=b=c取得等号）；
（2）由a+b+c=1平方可得，（a+b+c）²=1，
即为1=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤a²+b²+c²+（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）
=3（a²+b²+c²），
则a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$（当且仅当a=b=c时取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，考查推理能力，属于中档题．