Question

15．已知圆：（x-2）²+y²=3与双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$的渐近线相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，根据圆心到切线的距离等于半径得$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，求出b=$\sqrt{3}$a，
c=2a，即可得到双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为bx±ay=0．
根据圆（x-2）²+y²=3的圆心（2，0）到切线的距离等于半径$\sqrt{3}$，
可得$\frac{2b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故此双曲线的离心率为：2．
故选：C．

点评 本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=$\sqrt{3}$a，c=2a的值，是解题的关键．