Question

6．已知f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若命题：对于任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂）为真命题，求a的范围．

Answer 1

分析 根据条件求出f（x）和g（x）的最值，建立不等式关系即可．

解答 解：f（x）=x²-2x的对称轴为x=1，
当x∈[-1，2]，当x=1时，函数取得最小值f（1）=1-2=-1，
当x=-1时，函数取得最大f（-1）=1+2=3，
则-1≤f（x）≤3，即f（x）的值域为[-1，3]，
当x∈[-1，2]时，g（x）=ax+2为增函数，
则g（-1）≤g（x）≤g（2），
即2-a≤g（x）≤2a+2，即g（x）的值域为[2-a，2+2a]，
若对于任意的x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[-1，2]，使f（x₁）=g（x₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{2a+2≥3}\\{2-a≤-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥3}\end{array}\right.$，解得a≥3．

点评 本题主要考查函数最值的应用，根据条件求出函数的最值，结合函数最值的关系建立不等式是解决本题的关键．