Question

18．如图，弧$\widehat{AEC}$是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧$\widehat{AC}$的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=$\sqrt{5}$a，FE=$\sqrt{6}$a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得$\overrightarrow{FQ}$=λ$\overrightarrow{FE}$，$\overrightarrow{FR}$=λ$\overrightarrow{FB}$，求当RD最短时，平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证明EB⊥FD，我们可以转化为证明EB⊥平面BDF，证明EB⊥BF，结合线面垂直的判断定理和定义，不难给出结论．
（Ⅱ）要求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值，关键是要根据二面角的定义，先求出二面角的平面角，过D作HD∥QR，∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵E为弧AC的中点，AB=BC，AC为直径，∴EB⊥AD．
∵$E{F^2}=6{a^2}={（\sqrt{5}a）^2}+{a^2}=B{F^2}+B{E^2}$，∴EB⊥FB．
∵BF∩BD=B，∴EB⊥平面BDF．
∵FD?平面BDF，∴EB⊥FD．…4分
（Ⅱ）解：过D作HD∥QR．
∵$\overrightarrow{FQ}=λ\overrightarrow{FE}，\overrightarrow{FR}=λ\overrightarrow{FB}$，∴QR∥EB．∴HD∥EB．
∵D∈平面BED∩平面RQD，
∴HD为平面BED与平面RQD的交线．
∵BD，RD?平面BDF，EB⊥平面BDF，
∴HD⊥BD，HD⊥RD．
∴∠RDB为平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
∵△BRD是直角三角形，∴$sin∠BDR=\frac{BR}{BD}=\frac{{\frac{2}{5}\sqrt{5}a}}{2a}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．…6分

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．