Question

14．对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（1）函数f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1，h（x）是否为f₁（x），f₂（x）的生成函数？说明理由；
（2）设f₁（x）=1-x，f₂（x）=$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}$，当a=b=1时生成函数h（x），求h（x）的对称中心（不必证明）；
（3）设f₁（x）=x，${f_2}（x）=\frac{1}{x-1}$（x≥2），取a=2，b＞0，生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）先假设存在，列出方程，根据方程无解，得出不存在；
（2）化简函数式为h（x）=1-x+$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}$=$\frac{1}{x-1}$+1，从而判断函数图象关于点（1，1）中心对称；
（3）运用双勾函数的图象和性质，并通过分类讨论确定函数的最值．

解答 解：（1）根据生成函数的定义，设存在a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
则x²-x+1=a（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b，
对比两边的系数可知，$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{b-a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，方程无解，
所以，h（x）不是f₁（x），f₂（x）的生成函数；
（2）因为a=b=1，所以，h（x）=1-x+$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}$，
而h（x）=1-x+$\frac{{{x^2}-x+1}}{x-1}$=（1-x）+$\frac{x^2-x}{x-1}$+$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-1}$+1，
该函数的图象为双曲线，对称中心为（1，1）；
（3）根据题意，h（x）=2x+$\frac{b}{x-1}$=2（x-1）+$\frac{b}{x-1}$+2（x≥2），
根据基本不等式，2（x-1）+$\frac{b}{x-1}$≥2$\sqrt{2b}$，
当且仅当：x=$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1时，取“=”，
因此，函数h（x）单调性为，x∈（1，$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1）上单调递减，x∈（$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1，+∞）上单调递增，
故令$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1=2，解得b=2，最值情况分类讨论如下：
①当b∈（0，2]时，$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1≤2，
所以，当x≥2时，h（x）单调递增，h（x）_min=h（2）=b+4=5，解得b=1，符合题意；
②当b∈（2，+∞）时，$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1＞2，
所以，当x≥2时，h（x）先减后增，h（x）_min=h（$\sqrt{\frac{b}{2}}$+1）=2$\sqrt{2b}$+2=5，解得b=$\frac{9}{8}$，不合题意；
综合以上讨论得，实数b的值为1．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，函数图象对称中心的确定，以及运用函数的单调性确定函数的最值，属于难题．