Question

19．已知直线l₁：2x-y-8=0和直线l：3x+y-2=0．
（Ⅰ）求经过直线l₁与直线l的交点，且过点（-1，0）的直线的方程；
（Ⅱ）求直线l₁关于直线l对称的直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线l₁与直线l的交点，直线的斜率$k=\frac{0+4}{-1-2}=-\frac{4}{3}$，由点斜式得所求直线的方程；
（Ⅱ）取直线l₁上一点A（4，0），求出它关于直线l的对称点，求出直线l₁与直线l的交点，即可求直线l₁关于直线l对称的直线l₂的方程．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}2x-y-8=0\\ 3x+y-2=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$，
所以直线l₁与直线l的交点为P（2，-4）．
所求直线的斜率$k=\frac{0+4}{-1-2}=-\frac{4}{3}$．
由点斜式得所求直线的方程为$y=-\frac{4}{3}（x+1）$．即4x+3y+4=0．
（Ⅱ）取直线l₁上一点A（4，0），它关于直线l的对称点为B（x，y），
线段AB的中点为$C（\frac{x+4}{2}，\frac{y}{2}）$，

由题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{y}{x-4}•（-3）=-1\\ 3•\frac{x+4}{2}+\frac{y}{2}-2=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=3y+4\\ 3x+y+8=0\end{array}\right.$，解之得B（-2，-2）
由$\left\{\begin{array}{l}2x-y-8=0\\ 3x+y-2=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$，所以直线l₁与直线l的交点为P（2，-4）．
所以直线l₂的方程为：$\frac{y+4}{-2+4}=\frac{x-2}{-2-2}$，即x+2y+6=0．

点评 本题考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．