Question

5．已知方程x²+y²-4（m+1）x+2（1-m²）y+m⁴-1=0表示一个圆．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l：x+y=0与圆交于A、B两点，圆心到直线l的距离为2$\sqrt{2}$，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）根据D²+E²-4F＞0列出不等式解出；
（2）根据弦心距求出圆心坐标，解出圆的半径，利用垂径定理解出弦长．

解答 解：（1）∵x²+y²-4（m+1）x+2（1-m²）y+m⁴-1=0表示一个圆，
∴16（m+1）²+4（1-m²）²-4（m⁴-1）＞0，
整理得，m²+4m+3＞0，解得m＜-3，或m＞-1．
∴m的取值范围是（-∞，-3）∪（-1，+∞）．
（2）-$\frac{D}{2}$=2（m+1），-$\frac{E}{2}$=m²-1，即圆心坐标为（2m+2，m²-1），
∴d=$\frac{|2m+2+{m}^{2}-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$．解得m=-3（舍），或m=1．
圆的半径r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}$=4．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系，垂径定理是解决直线与圆相交问题常用的方法．