Question

16．在等差数列{a_n}中，首项a₁=-1，数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=（-1）ⁿ$\frac{6n-5}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由首项a₁=-1，可得a₁+a₂+a₃=3d-3．数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．可得$（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}$=$（\frac{1}{2}）^{3d-3}$=$（\frac{1}{2}）^{6}$，解得d即可得出．
（2）c_n=（-1）ⁿ$\frac{6n-5}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{3n-4}+\frac{1}{3n-1}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵首项a₁=-1，∴a₁+a₂+a₃=-3+$\frac{3×2}{2}d$=3d-3．
数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．
∴$（\frac{1}{2}）^{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}}$=$（\frac{1}{2}）^{3d-3}$=$（\frac{1}{2}）^{6}$，∴3d-3=6，解得d=3．
∴a_n=-1+3（n-1）=3n-4．
（2）c_n=（-1）ⁿ$\frac{6n-5}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{3n-4}+\frac{1}{3n-1}）$，
∴当n为偶数时，
数列{c_n}的前n项的和T_n=$-（-1+\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{5}）$-…-$（\frac{1}{3n-7}+\frac{1}{3n-4}）$+$（\frac{1}{3n-4}+\frac{1}{3n-1}）$
=1+$\frac{1}{3n-1}$=$\frac{3n}{3n-1}$．
当n为奇数时，数列{c_n}的前n项的和T_n=T_n-1-$（\frac{1}{3n-4}+\frac{1}{3n-1}）$
=$\frac{3（n-1）}{3（n-1）-1}$-$（\frac{1}{3n-4}+\frac{1}{3n-1}）$=$\frac{3n-2}{3n-1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3n}{3n-1}，n为偶数}\\{\frac{3n-2}{3n-1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、指数幂的运算性质、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．