Question

7．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，a₄，a₃，a₅依次成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）当q＜0时，求数列{na_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）当q＞0时，求证：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；
（III）利用“裂项求和”与不等式的性质即可证明．

解答 （I）解：∵a₄，a₃，a₅依次成等差数列，
∴2a₃=a₅+a₄，
∴2a₃=a₃（q²+q），化为q²+q-2=0，解得q=1或-2．
（II）解：q=-2．∴a_n=（-2）^n-1．
∴na_n=n（-2）^n-1．
∴数列{na_n}的前n项和S_n=1+2×（-2）+3×（-2）²+…+n（-2）^n-1，
-2S_n=（-2）+2×（-2）²+…+（n-1）×（-2）^n-1+n（-2）ⁿ，
∴3S_n=1+（-2）+（-2）²+…+（-2）^n-1-n（-2）ⁿ=$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$-n（-2）ⁿ=$\frac{1}{3}-\frac{1+3n}{3}$（-2）ⁿ，
∴S_n=$\frac{1}{9}$-$\frac{1+3n}{9}（-2）^{n}$．
（III）证明：q=1，
a_n=1．
∴$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$=$\frac{1}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-1}$=$\frac{3}{4}$$（\frac{1}{3i-2}-\frac{1}{3i+1}）$．
∴$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{{a}_{i}^{2}}{（2i-\frac{1}{3}）^{2}-{a}_{i}^{2}}$=$\frac{3}{4}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{3}{4}（1-\frac{1}{3n+1}）$＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．