Question

8．已知圆C的方程为x²+y²-4x=0，过点A（4，0）斜率为k的直线l与圆交于另一点B，且AB=2$\sqrt{2}$．
（1）求直线l的方程；
（2）k＞0时，求过点B且与圆C相切的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）化圆的一般方程为标准方程，求出圆的圆心坐标和半径，利用圆的半径、弦长、弦心距间的关系求出圆心C到直线l的距离，设出直线方程，由圆心到直线的距离列式求出直线的斜率，则直线方程可求；
（2）联立直线方程和圆的方程，求出B的坐标，由图可直接得到过点B且与圆C相切的直线的方程．

解答 解：（1）如图，
由x²+y²-4x=0，得（x-2）²+y²=4．
∴圆C的圆心坐标为C（2，0），半径为2．
∵AB=2$\sqrt{2}$，且CA=2，∴C到直线l的距离d=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}=\sqrt{2}$．
设AB所在直线方程为y=kx-4k，即kx-y-4k=0．
由$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{2}$，解得：k=±1．
∴直线l的方程为x-y-4=0或x+y-4=0；
（2）当k＞0时，直线l方程为x-y-4=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-4=0}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得B（2，-2）．
∴过点B且与圆C相切的直线的方程为y=-2．

点评 本题考查圆的切线方程，考查了直线和圆的位置关系，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．