Question

9．已知函数f（x）=e^x-mx+1，g（x）=a^x-xlna（a＞0，且a≠1），函数f（x）在x=0处的切线与直线y=（1-e）x平行．
（1）求实数m的值；
（2）讨论函数g（x）的单调性；
（3）证明：不等式f（x）+g（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得m的值；
（2）求出函数g（x）的导数，对实数a分类讨论后，分别令导数大于0，小于0，求得单调区间；
（3）不等式f（x）+g（x）＞2恒成立等价为f（x）＞2-g（x）恒成立，分别求出f（x），g（x）的最值，只要f（x）的最小值大于2-g（x）的最大值，即可得证．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x-mx+1的导数为f′（x）=e^x-m，
即有在x=0处的切线斜率为e⁰-m=1-m，
由切线与直线y=（1-e）x平行，可得
1-m=1-e，解得m=e；
（2）∵g（x）=a^x-xlna，
∴g′（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna，
当a＞1时，lna＞0，
令g′（x）＞0，即a^x-1＞0，解得x＞0
令g′（x）＜0，即a^x-1＜0，解得x＜0；
当0＜a＜1时，lna＜0，
令g′（x）＞0，即a^x-1＜0，解得x＞0
令g′（x）＜0，即a^x-1＞0，解得x＜0；
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（3）证明：不等式f（x）+g（x）＞2恒成立等价为f（x）＞2-g（x）恒成立，
y=f（x）的导数为f′（x）=e^x-e，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处取得最小值，且为1，即f（x）≥1；
由（2）可得g（x）在x=0处取得最小值，且为1，
则2-g（x）≤1，由于最值取得的条件不同，
则有不等式f（x）+g（x）＞2成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，同时考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．