Question

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于

5 7

14

．

Answer 1

分析：连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，由∠ACB为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos∠ACB的值，由θ=30°+∠ACB，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°，
根据余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10

7

海里，
根据正弦定理得

BC

sin∠CAB

=

AB

sin∠A CB

，即

10 7

3 2

=

20

sin∠ACB

，
∴sin∠ACB=

21

7

，
∵∠ACB为锐角，∴cos∠ACB=

2 7

7

，
∴sinθ=sin（30°+∠ACB）=

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

5 7

14

．
故答案为：

5 7

14

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．