Question

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，则sinθ的值等于（　　）

• A、

  21

  7

• B、

  2

  2

• C、

  3

  2

• D、

  5 7

  14

Answer 1

分析：先根据题意做出图象，在△ABC中，利用 余弦定理求得BC，然后根据正弦定理求得sin∠ACB，则cos∠ACB可得，进而利用sinθ=sin（30°+∠ACB）根据正弦函数的两角和公式解决．

解答：解：根据题目条件可作图如图：
在△ABC中，AB=20，AC=10，∠CAB=120°，由余弦定理有
BC²=AC²+AB²-2AC•ABcos∠CAB
=20²+10²-2×20×10cos120°
=700，
∴BC=10

7

，再由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠CAB

，
∴sin∠ACB=

ABsin∠CAB

BC

=

20×sin120°

10 7

=

21

7

，
cos∠ACB=

2 7

7

．
所以sinθ=sin（30°+∠ACB）
=sin30°cos∠ACB+cos30°sin∠ACB
=

1

2

×

2 7

7

+

3

2

×

21

7

=

5 7

14

．
故选D

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了考生运用所学知识解决实际问题的能力．