Question

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船．
（Ⅰ）求处于C处的乙船和遇险渔船间的距离；
（Ⅱ）设乙船沿直线CB方向前往B处救援，其方向与

CA

成θ角，求f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接BC，依题意可知AC，AB的值和∠CAB，进而由余弦定理求得BC．
（Ⅱ）先根据正弦定理求得sinθ，进而根据同角三角函数基本关系求得cosθ，进而利用两角和公式化简函数的解析式，进而根据正弦函数的性质求得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）连接BC，由余弦定理得BC²=20²+10²-2×20×10COS120°=700．
∴BC=10

7

．
（Ⅱ）∵

sinθ

20

=

sin120°

10 7

，
∴sinθ=

3 7

∵θ是锐角，
∴cosθ=

4 7

，
f（x）=sin²θsinx+cos²θcosx=

3

7

sinx+

4

7

cosx=

5

7

sin(x+?)
∴f（x）的值域为[-

5

7

， 

5

7

]．

点评：本题主要考查了解三角形中的实际运用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．