Question

已知定点M（1，2），点P和Q分别是在直线l：y=x-1和y轴上动点，则当△MPQ的周长最小值时，△MPQ的面积是（ ）
A．
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：作出M关于y轴的对称点M₁，关于y=x-1的对称点M₂，连接M₁M₂，与y轴交于Q点，与y=x-1交于P点，连接MQ，MP，此时△MPQ的周长最小，此时M₁（-1，2），利用对称性求出M₂坐标，确定出直线直线M₁M₂的解析式，进而确定出P与Q坐标，利用点到直线的距离公式求出M到直线M₁M₂的距离d，利用两点间的距离公式求出|PQ|的长，利用三角形面积公式求出即可．
解答：解：作出M关于y轴的对称点M₁，关于y=x-1的对称点M₂，连接M₁M₂，与y轴交于Q点，与y=x-1交于P点，连接MQ，MP，此时△MPQ的周长最小，
此时M₁（-1，2），
∵直线MM₂与y=x-1垂直，且y=x-1的斜率为1，
∴设直线MM₂解析式为y=-x+b，
将M（1，2）代入得：2=-1+b，即b=3，
∴直线MM₂解析式为y=-x+3，
与y=x-1联立得到A（2，1），
∴M₂（3，0），
∴直线M₁M₂解析式为y-2=-（x+1），即x+2y-3=0，
令x=0，得到y=，即Q（0，），
联立直线M₁M₂解析式与y=x-1求得P（，），
∵M到直线M₁M₂的距离d==，|PQ|==，
则S_△MPQ=|PQ|•d=××=．
故选B
点评：此题考查了直线的一般式方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，对称的性质，作出相应的图形，找出满足题意P与Q的位置是解本题的关键．