Question

（2012•房山区二模）已知定点M（1，2），点P和Q分别是在直线l：y=x-1和y轴上动点，则当△MPQ的周长最小值时，△MPQ的面积是（　　）

• A．

  4

  5

• B．

  5

  6

• C．1
• D．

  2 3

  5

Answer 1

分析：作出M关于y轴的对称点M₁，关于y=x-1的对称点M₂，连接M₁M₂，与y轴交于Q点，与y=x-1交于P点，连接MQ，MP，此时△MPQ的周长最小，此时M₁（-1，2），利用对称性求出M₂坐标，确定出直线直线M₁M₂的解析式，进而确定出P与Q坐标，利用点到直线的距离公式求出M到直线M₁M₂的距离d，利用两点间的距离公式求出|PQ|的长，利用三角形面积公式求出即可．

解答：解：作出M关于y轴的对称点M₁，关于y=x-1的对称点M₂，连接M₁M₂，与y轴交于Q点，与y=x-1交于P点，连接MQ，MP，此时△MPQ的周长最小，
此时M₁（-1，2），
∵直线MM₂与y=x-1垂直，且y=x-1的斜率为1，
∴设直线MM₂解析式为y=-x+b，
将M（1，2）代入得：2=-1+b，即b=3，
∴直线MM₂解析式为y=-x+3，
与y=x-1联立得到A（2，1），
∴M₂（3，0），
∴直线M₁M₂解析式为y-2=-

1

2

（x+1），即x+2y-3=0，
令x=0，得到y=

3

2

，即Q（0，

3

2

），
联立直线M₁M₂解析式与y=x-1求得P（

5

3

，

2

3

），
∵M到直线M₁M₂的距离d=

1+4-3

5

=

2 5

5

，|PQ|=

(0- 5 3 )2+( 3 2 - 2 3 )2

=

5 5

6

，
则S_△MPQ=

1

2

|PQ|•d=

1

2

×

2 5

5

×

5 5

6

=

5

6

．
故选B

点评：此题考查了直线的一般式方程，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，对称的性质，作出相应的图形，找出满足题意P与Q的位置是解本题的关键．