Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

6

3

，
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）已知定点M（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于A、B两点．问：是否存在k的值，使以AB为直径的圆过M点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

6

3

，结合a²=b²+c²，求出a，b可得椭圆的方程．
（Ⅱ）若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点，则MA⊥MB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，构造方程求出k值即可．

解答：解：（I）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为

6

3

，
∴b=1，e=

c

a

=

6

3

∴b²=1，

c2

a2

=

2

3

结合a²=b²+c²得：a²=3
∴椭圆的标准方程为

x2

3

+y2=1
（II）假若存在k的值，使以AB为直径的圆过M点
由

x2 3 +y2=1 y=kx+2

得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
则△=（12k）²-36（1+3k²）=36（k²-1）＞0
解得：k＜-1，或k＞1…①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁•x₂=

9

1+3k2

∴y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²（x₁•x₂）+2k（x₁+x₂）+4
要使以AB为直径的圆过M点
当且仅当MA⊥MB，即

y1

x1+1

•

y2

x2+1

=-1，即y₁•y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0时满足条件
∴k²（x₁•x₂）+2（k+1）（x₁+x₂）+5=0
即k²（

9

1+3k2

）+2（k+1）（

-12k

1+3k2

）+5=0
解得k=

7

6

经检验k=

7

6

满足条件
综上可知，存在k=

7

6

使以AB为直径的圆过M点

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的简单性质是解答的关键．