Question

12．已知α、β、γ是三个不同的平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，求证：l⊥γ

Answer 1

分析 在l任意取点P，利用平面与平面垂直的性质定理，分别在平面α，β内找到一条直线PA，PB都垂直平面γ，根据与一个平面垂直的直线只有一条得到PA，PB重合即为l，得证

解答 证明：设α∩γ=m，β∩γ=n，
因为平面α∩平面β=l，
所以在l任意取一点P，过P在平面α内作PA⊥m，
因为α⊥平面γ，α∩γ=m，
所以PA⊥γ，
过P在平面β内作PB⊥n，
因为β⊥平面γ，β∩γ=n，
所以PB⊥γ，
所以PA，PB重合即为l，
所以l⊥γ．

点评 本题考查证明线面垂直的证明方法；考查平面与平面垂直的性质：两平面垂直能推出直线与平面垂直；考查与一个平面垂直的直线只有一条，属于基础题．