Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一条渐近线方程为y=

3

x，O为坐标原点，点M(-

5

，

3

)在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O．证明：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值，并求|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一条渐近线方程为y=

3

x，设双曲线方程为（y+

3

x）（y-

3

x）=λ，λ≠0，由点M(-

5

，

3

)在双曲线上，能求出双曲线方程．
（2）由直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O，知OP⊥OQ，设直线OP的方程为y=kx，（k≠0），代入

x2

4

-

y2

12

=1中，得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，由此能够证明

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值，并能求出|OP|²+|OQ|²的最小值．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的一条渐近线方程为y=

3

x，
∴设双曲线方程为（y+

3

x）（y-

3

x）=λ，λ≠0
即y²-3x²=λ，
∵O为坐标原点，点M(-

5

，

3

)在双曲线上，
∴（

3

）²-3（-

5

）²=λ，解得λ=-12，
∴双曲线方程为y²-3x²=-12，即

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）∵直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O，
∴OP⊥OQ，
设直线OP的方程为y=kx，（k≠0）
代入

x2

4

-

y2

12

=1中，得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(k2+1)

3-k2

，
同理，得|OQ|²=

12(1+ 1 k2 )

3- 1 k2

=

12(k2+1)

3k2-1

•

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

2+2k2

12(k2+1)

=

1

6

，
设|OP|²+|OQ|²=t，则t（

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

）=2+

|OP|2

|OQ|2

+

|OQ|2

|OP|2

≥2+2=4，
∴t≥

4

1 6

=24，即（|OP|²+|OQ|²）_min=24，
当且仅当|OP|=|OQ|=2

3

时，取等号．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查定值的证明和最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．