Question

14．已知函数f（x）的定义域为D，若存在非零常数t，使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t阶函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-2a²|-2a²，且f（x）为R上的8阶函数，那么实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由已知得当a=0，f（x+8）＞f（x）；当a≠0时，作出图象，数形结合得12a²-（-4a²）≤8，由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-2a²|-2a²，且f（x）为R上的8阶函数
∴当a=0，f（x）=x，则f（x+8）＞f（x），
即f（x）为R上的8阶高调函数；
当a≠0时，函数y=f（x）的图象如图所示，若f（x）为R上的8阶高调函数，
则12a²-（-4a²）≤8，解得-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$且a≠0．
综上实数a的取值范围是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．