Question

4．已知函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求证：当x∈（0，1）时，$f（x）＞2（{x+\frac{x^3}{3}}）$．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，即可得到所求切线的方程；
（2）构造函数y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$），0＜x＜1，求得导数，判断符号，由单调性即可得证．

解答 解：（1）f（x）=ln$\frac{1+x}{1-x}$的导数为
f′（x）=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{（x-1）^{2}}$=-$\frac{2}{{x}^{2}-1}$，
可得在点（0，f（0））处的切线斜率为2，切点（0，0），
即有在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x；
（2）证明：由y=ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$），0＜x＜1，
导数为y′=$\frac{1-x}{1+x}$•$\frac{2}{（1-x）^{2}}$-2（1+x²）
=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-2（1+x²），
由0＜x＜1可得y′=$\frac{2{x}^{4}}{1-{x}^{2}}$＞0，
即有导数y′＞0在（0，1）恒成立，
则有函数ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）在（0，1）递增，
则有ln$\frac{1+x}{1-x}$-2（x+$\frac{{x}^{3}}{3}$）＞0，
故当x∈（0，1）时，$f（x）＞2（{x+\frac{x^3}{3}}）$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查不等式的证明，注意运用单调性，属于中档题．