Question

14．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|PB|+|PD₁|=m的点P的个数为6，则m的取值范围是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 利用三角形两边之和大于第三边，以及点P的个数为6个时，短半轴长不大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，能求出m的范围．

解答 解：∵|PA|+|PC₁|=m＞|AC₁|=$\sqrt{3}$，
∴m＞$\sqrt{3}$，
∵正方体的棱长为1
∴正方体的面的对角线的长为$\sqrt{2}$，
∵点P的个数为6，
∴b≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵短半轴长b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{m}^{2}-3}}{2}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m≤$\sqrt{5}$，
∴m的取值范围是（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$]．
故答案为：（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]．

点评 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养．