Question

已知椭圆C的中心坐标原点，F₁、F₂分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使2

MF1

-

MF2

=|

MF1

|•|

MF2

|•|

MF1

|=|

MF2

|．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若PQ为过椭圆焦点F₂的弦，且

PF2

=λ

F2Q

，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由直线x=4为椭圆C的准线，知

a2

c

=4，由|

MF1

|=|

MF2

|，知M为椭圆C短轴上的顶点，由|

MF1

| •|

MF2

| =2

MF1

•

MF2

，知△F₁MF₂为等边三角形，由此能导出椭圆C的方程．
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，|PQ|=

2b2

a

=3，|F₁F₂|=2，S△PF1Q=

1

2

×3×2=3，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x-1），k≠0，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：（4k²+3）y²+6ky-9k²=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（1）据题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，∵直线x=4为椭圆C的准线，∴

a2

c

=4
又|

MF1

|=|

MF2

|，∴M为椭圆C短轴上的顶点，
∵|

MF1

| •|

MF2

| =2

MF1

•

MF2

，∴cos∠F1MF2=

MF1 • MF2

| MF1 | •| MF2 |

=

1

2

，
∴∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂为等边三角形
∴α=|

MF1

| =|

MF2

| =2c，故a²=4c=2a，_∴a=2，c=1，
且b²=3，∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ分斜率不存在时，
|PQ|=

2b2

a

=3，|F₁F₂|=2，
∴S△PF1Q=

1

2

×3×2=3，
当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，
则直线PQ的方程为y=k（x-1），k≠0，代入椭圆C的方程，消去x的并整理得：
（4k²+3）y²+6ky-9k²=0，
△=36k²+36k²（4k²+3）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

-6k

4k2+3

，y1y2=

-9k2

4k2+3

，
∴|PQ|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(1+k2)

4k2+3

，
设4k²+3=t，则t＞3，此时k2=

t-3

4

，
S△PF1Q=12

( t-3 4 )2+ t-3 4 t2

•3

-3( 1 t + 1 3  )2+ 4 3

∵0＜

1

t

＜

1

3

，∴0＜S△PF1Q＜3，
综上，直线PQ与x轴垂直时，△PF₁Q的面积最大，且最大面积为3．
设△PF₁Q内切圆半径为r，则

S△PF1Q=

1

2

(|

PF1

|+|

PQ

|+|

QF1

 |)•r=4R，
∴4r≤3，r≤

3

4

，∴r=

3

4

时，△PF₁Q内切圆面积最大，此时不存在，
直线PQ与x轴垂直，∴

PF2

=

F2Q

_，即λ=1．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意韦达定和根的判别式的合理运用．