Question

18．已知y=x²+ax+3，x∈[-1，1]，求y的最小值．

Answer 1

分析 先将函数配成f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$．然后讨论函数的对称轴与[-1，1]的位置关系，分别求出函数的最小值即可．

解答 解：设f（x）=x²+ax+3在[-1，1]上的最小值为g（a），
配方得f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+3-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
（1）当-1＜-$\frac{a}{2}$＜1时，即-2＜a＜2时，g（a）=f（-$\frac{a}{2}$）=3-$\frac{{a}^{2}}{4}$；
（2）当-$\frac{a}{2}$≥1时，即a≤-2，g（a）=f（1）=4+a，
（3）当-$\frac{a}{2}$≤-1时，即a≥2，g（a）=f（-1）=4-a，
∴f（x）_min=g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{4+a，a≤-2}\\{3-\frac{{a}^{2}}{4}，-2＜a＜2}\\{4-a，a≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了求函数的最小值，以及分离讨论的数学思想，属于中档题．