Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点

（1）求证：平面PAB⊥平面CDE；

（2）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)

【解析】

（1）要证明面面垂直，需证明线面垂直，取AP的中点F，连结EF，DF，根据题中所给的条件证明，即证明平面；

（2）利用等体积，根据所给的条件，易求，点到平面的距离就是，并且根据点，线，面的关系和边长求的面积.

证明：（1）取AP的中点F，连结EF，DF，

∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF=AB，

又CD∥AB，CD=AB， ∴CD∥EF，CD=EF

∴四边形CDEF为平行四边形，

∴DF∥CE，

又△PAD 为正三角形，

∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，

又PA⊥CD，CD∩CE=C，

∴PA⊥平面CDE，

又PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面CDE．

⑵∵AB∥CD，AB⊥AD，

∴CD⊥AD，

又PA⊥CD，PA∩AD=A，

∴CD⊥平面PAD，

又（1）知，CD∥EF，∴EF⊥平面PAD，

∴EF为三棱锥的E﹣PAD的高，且EF=CD=2，

易得△PAD的面积S△PAD=×22=，

在Rt△PAB中，PB=2，AE=PB=，

在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=，∴DE=

在△ADE中，AE=，DE=，AD=2，

∴△ADE的面积，

设点P到平面ADE的距离为d，由VP﹣ADE=VE﹣PAD得

××2=×d，

解得d= ∴点P到平面ADE的距离为