Question

11．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC=2．
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）若AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，求四棱锥A-BCFE的体积．

Answer 1

分析 （1）证明PA⊥BC，AB⊥BC，即可利用直线与平面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB．
（2）说明AE⊥平面PAB，利用△PFE相似于△PBC，求出S_BCFE的面积，然后求解四棱锥A-BCFE的体积．

解答 解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
△ABC中，$AB=1，BC=\sqrt{3}，AC=2$，∴AB²+BC²=AC²，AB⊥BC，
∵PA、AB是平面PAB上的两条相交直线，
∴BC⊥平面PAB．

（2）解：由BC⊥平面PAB，BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB，交线为PB，
∵AE⊥PB于点E，∴AE⊥平面PAB，从而AE⊥EF，AE⊥PC．
又AF⊥PC于点F，∴PC⊥平面AEF，
∵EF?平面AEF，∴PC⊥EF，直角△PBC中，$PB=\sqrt{2}，PF=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
又△PFE相似于△PBC，∴$\frac{{{S_{△PFE}}}}{{{S_{△PBC}}}}={（{\frac{PF}{PB}}）^2}=\frac{1}{10}$，
从而${S_{BCFE}}=\frac{9}{10}{S_{△PBC}}=\frac{{9\sqrt{6}}}{20}$，
所以，四棱锥A-BCFE的体积$V=\frac{1}{3}•AE•{S_{BCFE}}=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\frac{{9\sqrt{6}}}{20}=\frac{{3\sqrt{3}}}{20}$．

点评 本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查计算能力以及逻辑推理能力．