Question

【题目】已知正实数a，b，c满足a3+b3+c3＝1．

（Ⅰ）证明：a+b+c≥（a2+b2+c2）2；

（Ⅱ）证明：a2b+b2c+c2a≤1．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【解析】

(Ⅰ)利用柯西不等式直接证明即可；

(Ⅱ)先利用立方和公式及基本不等式可得a3+b3≥a2b+ab2，b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，进而得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，再由a3≥2a2b﹣ab2，b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，进而得

a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，进而得到3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，由此得证．

证明：(Ⅰ)∵a3+b3+c3＝1，

∴a+b+c＝(a+b+c)(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)2，即得证．

(Ⅱ)a3+b3＝(a+b)(a2﹣ab+b2)≥(a+b)(2ab﹣ab)＝a2b+ab2，

同理b3+c3≥b2c+bc2，a3+c3≥a2c+ac2，

全部加起来得2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2，①

又a2+b2≥2ab，故a3+ab2≥2a2b，则a3≥2a2b﹣ab2，

同理b3≥2b2c﹣bc2，c3≥2c2a﹣ca2，

全部加起来得a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2﹣bc2﹣ca2，②

由①②得3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a)，

即a2b+b2c+c2a≤a3+b3+c3＝1，即得证．