Question

【题目】在平面直角坐标系中,点满足方程.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）作曲线关于轴对称的曲线,记为,在曲线上任取一点,过点作曲线的切线,若切线与曲线交于,两点,过点,分别作曲线的切线,,证明：,的交点必在曲线上.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析

【解析】

(1)平方化简,即可求解；

(2)根据导数的几何意义求出切线l的方程,与曲线方程联立,由韦达定理,确定两交点A,B坐标关系,再利用导数的几何意义,求出切线,的方程,并联立求出交点坐标,再证明满足轨迹的方程即可.

(1)由,

两边平方并化简,得,即,

所以点M的轨迹C的方程为.

(2)依题可设点,,

曲线C切于点P的切线l的斜率为,

切线l的方程为,

整理得

依题可知曲线,

联立方程组,,

设,,所以,.（*）

设曲线上点处的切线斜率为,

切线方程为,整理得,

同理可得曲线上点处的切线方程为,

联立方程组,,

又由（*）式得,则,的交点坐标为,

满足曲线的方程.

即,的交点必在曲线上.