Question

【题目】如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，，.

（1）求证：平面BDE⊥平面BDF；

（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）证明BD⊥CF，BD⊥AC，推出BD⊥平面ACFE，得到OF⊥BD，由已知推出AE⊥平面ABCD，得AE⊥AO且FC⊥CO，在直角梯形中可证明OF⊥OE，从而得OF⊥平面BDE，然后证得结论面面垂直.

（2）以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，过O做垂直于平面ABCD的为z轴建立空间直角坐标系.求出平面DEF的一个法向量，平面BEF的一个法向量，通过空间向量的数量积求解二面角D﹣EF﹣B的大小.

（1）证明：因为AE∥CF，所以A、C、F、E四点共面.

又CF⊥平面ABCD，而BD平面ABCD，所以BD⊥CF，

由菱形ABCD，所以BD⊥AC，

且CF∩AC＝C，所以，BD⊥平面ACFE，

令BD∩AC＝O，如图所示，OF平面ACFE，所以OF⊥BD，

因为AE∥CF且CF⊥平面ABCD，所以AE⊥平面ABCD，

则AE⊥AO且FC⊥CO，，，

由菱形ABCD且∠BAD＝120，所以AO＝OC＝1，

故，，

则，，

所以，即OF⊥OE，

又OE∩BD＝O，所以OF⊥平面BDE，

又∵OF平面BDF，平面BDE⊥平面BDF.

（2）由菱形ABCD，所以BD⊥AC，以OA，OB所在的直线分别为x轴，y轴，

过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系.则轴，轴，

则，所以A（1，0，0），，，，，

所以，，，

令平面DEF的一个法向量为，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

令平面BEF的一个法向量为：，且，，

由，，所以，

由，，所以，即，

所以，则，

即二面角D﹣EF﹣B的大小为.