Question

【题目】如图，在正三棱柱中，，，点，满足，.

（1）证明：面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接交于点，连接，利用向量数乘定义及平行线的性质可证明，从而得证线面平行；

（2）故以为坐标原点，以射线，分别轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦得二面角余弦．

（1）证明：连接交于点，连接，

由，从而与相似，

又知，

又，从而在中，有.

从而得：，

又面，面，

故面.

（2）解：由三棱柱为正三棱柱，故以为坐标原点，

以射线，分别轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得：

，，，，，

，，，

设平面的法向量为，

则：，

不妨取，则，

设平面的法向量为，

则：，

不妨取，则，

记二面角为（应为钝角），

，

故二面角的余弦值为.