Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（3）求点B到平面B₁GE的距离．

Answer 1

分析：解法1：（1）根据BE=

1

3

BC₁，利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论；
（2）根据二面角的定义，在两个半平面内各找一条直线垂直于二面角的棱，从而找到二面角的平面角，在三角形中求解，即可得到答案；
解法2：（1）建立空间直角坐标系，求出侧面AA₁B₁B的法向量和向量

GE

，判断法向量和向量

GE

垂直，即可证得结论；
（2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案；
（3）利用点到面的距离，向量

BG

构造直角三角形，再利用向量

BG

与平面B₁GE的法向量的夹角，在直角三角形中即可求得B到平面B₁GE的距离．

解答：解法1：（1）延长B₁E交BC于点F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，且BE=

1

2

EC₁，
∴BF=

1

2

B₁C₁=

1

2

BC，
∴点F为BC的中点，
∵G为△ABC的重心，
∴A、G、F三点共线，且

FG

FA

=

FE

FB1

=

1

3

，
∴GE∥AB₁，
又GE?侧面AA₁B₁B，AB₁?侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）在侧面AA₁B₁B内，过B₁作B₁H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC，
又侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=

3

，
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B₁T，
根据三垂线定理可得，B₁T⊥AF，
∵平面B₁CE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B₁TH为所求二面角的平面角，
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=

3

2

，
在Rt△B₁HT中，tan∠B1TH=

B1H

HT

=

2 3

3

，
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为

2 3

3

；
解法2：（1）∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，
∴∠A₁AB=60°，
又∵AA₁=AB=2，取AB得中点O，则A₁O⊥底面ABC，
∴以O为原点，以{

OC

，

OB

，

OA1

}为基底，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），A₁（0，0，

3

），B₁（0，2，

3

），C₁（

3

，1，

3

），
∵G为△ABC的重心，
∴G（

3

3

，0，0），
∵

BE

=

1

3

BC1

，
∴E（

3

3

，1，

3

3

），
∴

CE

=(0，1，

3

3

)=

1

3

AB1

，
又∵GE?侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）设平面B₁GE的法向量为

n

=(a，b，c)，则由

n • B1E =0 n • GE =0

，可得

3 3 a-b- 2 3 3 c=0 b+ 3 3 c=0

，
取

n

=（

3

，-1，

3

），
又底面ABC的一个法向量为

m

=（0，0，1），
设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为θ，则cosθ=

m • n

| m || n |

=

21

7

，
∵θ为锐角，
∴sinθ=

1-cos2θ

=

2 7

7

，
∴tanθ=

2 3

3

；
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为

2 3

3

；
（3）由（2）可知平面B₁GE的法向量为

n

=（

3

，-1，

3

），

BG

=（

3

3

，-1，0），
d=

| BG • n |

| n |

=

|( 3 3 ，-1，0)•( 3 ，-1， 3 )|

|( 3 ，-1， 3 )|

=

2

7

=

2 7

7

所以点B到平面B₁GE的距离为：

2 7

7

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，二面角的平面角的寻找以及相关的求解问题，点、线、面之间距离的计算．在求解二面角的时候，一种方法是找出二面角的平面角，然后在三角形中求解即可，另一种方法是运用空间向量，建立直角坐标系进行求解．而点到面的距离的求解，一种方法是运用等体积法，另一种是运用空间向量进行求解．属于中档题．