Question

10．对任意x∈R，若|x-3|+|x+2|＞a恒成立，求实数a的取值范围a＜5．

Answer 1

分析 首先分析题目已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，求k的取值范围，即需要a小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．对于求|x+2|+|x-3|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x到点-2的距离加上点x到点3的距离．分析得当x在-2和3之间的时候，取最小值，即可得到答案．

解答 解：已知不等式|x+2|+|x-3|＞a恒成立，即需要a小于|x+2|+|x-3|的最小值即可．
故设函数y=|x+2|+|x-3|，设-2、3、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．
则函数y=|x+2|+|x-3|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．
可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．
即：y=|x+2|+|x-3|=|PA|+|PB|≥|AB|=5．即|x+2|+|x-3|的最小值为5．
即：a＜5．
故答案为：a＜5．

点评 此题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x-a|+|x-b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．