Question

20．在数列中，主要是两大问题，一是：求数列的通项；二是：求和．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．
（1）写出a₁，a₂，a₃，a₄的值（只写结果），并猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法，证明你的猜想是正确的．（这种求数列通项的方法，称之为数学归纳法）

Answer 1

分析 （1）由S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$．（n∈N^*），分别令n=1，2，3，4，即可得出a₁，a₂，a₃，a₄．猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
（2）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立

解答 解：（1）∴S_n+a_n=2-$\frac{2}{{2}^{n}}$，
∴S₁+a₁=2-$\frac{2}{2}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$，
同理可得a₂=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{3}{8}$，a₄=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
猜想a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
（2）下面用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$成立；
（ii）假设当n=k时，猜想成立，即a_k=$\frac{k}{{2}^{k}}$，
那么当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=-a_k+1+2-$\frac{2}{{2}^{k+1}}$+a_k-2+$\frac{2}{{2}^{k}}$，
∴2a_k+1=a_k+$\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{k}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}}$=$\frac{k+1}{{2}^{k}}$，
∴a_k+1=$\frac{k+1}{{2}^{k+1}}$，
∴当n=k+1时猜想成立，
由（i），（ii）可知，对?n∈N*，a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列的递推式、数学归纳法、观察分析猜想归纳的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．