Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 （a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A，B两点．
（1）当椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦AB的长度；
（3）当椭圆的离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，求椭圆长轴长的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，建立等式，结合a²-b²=c²=1，即可求得椭圆的方程；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程

x2

3

+

y2

2

=1联立，消去y可得5x²-6x-3=0，再利用弦长公式，即可求得结论；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1联立，消去y，利用韦达定理及以AB为直径的圆经过坐标原点O，用a表示出离心率，结合椭圆的离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，即可求得椭圆长轴长的取值范围．

解答：解：（1）∵椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列
∴2b²=a²+c²=a²+1
∵a²-b²=c²=1
∴a²=3，b²=2
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1；
（2）直线x+y-1=0与椭圆方程

x2

3

+

y2

2

=1联立，消去y可得5x²-6x-3=0，∴x=

6±4 6

10

=

3±2 6

5

∴弦AB的长度为

1+1

•|

3+2 6

5

-

3-2 6

5

|=

8 3

5

；
（3）直线x+y-1=0与椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1联立，消去y可得（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2-a2b2

a2+b2

∵以AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0
∴2•

a2-a2b2

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0
∴b²=

a2

2a2-1

∴c²=a²-b²=

2a4-2a2

2a2-1

∴e2=

c2

a2

=

2a2-2

2a2-1

∵椭圆的离心率e满足

3

3

≤e≤

2

2

，
∴

1

3

≤

2a2-2

2a2-1

≤

1

2

∴

5

2

≤a≤

6

2

∴

5

≤2a≤

6

∴椭圆长轴长的取值范围为[

5

，

6

]．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查椭圆的几何性质，属于中档题．