Question

设

OA

=（5，1），

OB

=（1，7），

OC

=（4，2），且

OM

=t

OC

（1）是否存在实数t，使

MA

⊥

MB

？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．
（2）求使

MA

•

MB

取最小值点M的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）

MA

⊥

MB

，就得到

MA

•

MB

=0，∴根据条件分别求出

MA

，

MB

的坐标，带入

MA

•

MB

=0进行数量积的坐标运算，看能不能求出t即可．
（2）利用上步求出的

MA

•

MB

，得到关于t的一个式子，可以看成关于t的函数，求使函数取最小值的t即可．

解答： 解：（1）

OM

=(4t，2t)，若

MA

⊥

MB

，则

MA

•

MB

=0；
∵

MA

=

OA

-

OM

=（5-4t，1-2t），

MB

=

OB

-

OM

=（1-4t，7-2t）；
∴（5-4t）（1-4t）+（1-2t）（7-2t）=0，即5t²-10t+3=0；
∴t=

5± 10

5

．
（2）

MA

•

MB

=20t2-40t+12=20(t-1)2-8；
∴t=1时，

MA

•

MB

取最小值，此时M（4，2）．

点评：考查的知识点为：向量坐标的减法运算，数量积的坐标运算，向量垂直与数量积的关系，二次函数最值．注意对二次函数进行配方求最值及此时的自变量值．