Question

已知函数f（x）=1+2sin（ωx-

π

3

）（0＜ω＜10）的图象过点（-

π

12

，-1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若y=t在x∈[

π

3

，

5

6

π]上与f（x）恒有交点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）的图象过点(-

π

12

，-1)，求得 sin（-

π

12

ω+

π

3

）=-1，即

π

12

ω+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z．结合0＜ω＜10，求得ω=2，可得f（x）的解析式．
（2）由x的范围，利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的范围，即为所求的t的范围．

解答： 解：（1）∵（x）=1+2sin（ωx-

π

3

）的图象过点(-

π

12

，-1)，
∴1+2sin（-

π

12

×ω-

π

3

）=-1，2sin（-

π

12

×ω-

π

3

）=-2，即2sin（-

π

12

ω-

π

3

）=-1，
∴sin（

π

12

ω+

π

3

）=-1，即

π

12

ω+

π

3

=2kπ+

π

2

，k∈z．
∴ω=24k+2，k∈z，又因为0＜ω＜10，所以ω=2，∴f(x)=1+2sin(2x-

π

3

)．
（2）∵x∈[

π

3

，

5

6

π]，所以(2x-

π

3

)∈[

π

3

，

4π

3

]，∴f（x）∈[1-

3

，3]，
又因为y=t在x∈[

π

3

，

5

6

π]上与 f（x）恒有交点，所以t∈[-

3

+1，3]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，体现了转化的数学思想，属于基础题．