Question

已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，

2

2

）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点S（0，-

1

3

）且斜率为k的动直线l交椭圆C于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），由已知条件得

n=1 m+ 1 2 n=1

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设动直线l的方程为：y=kx-

1

3

，由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过（0，1），（1，

2

2

），
∴设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∴

n=1 m+ 1 2 n=1

，解得m=

1

2

，n=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设动直线l的方程为：y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-

3

4

kx-

16

9

=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4k

3(2k2+1)

，x₁x₂=-

16

9(2k2+1)

，
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，
则

MA

=(x1，y1-m)，

MB

=(x2，y2-m)，

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）
=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=x1x2+(kx1-

1

3

)(kx2-

1

3

)-m(kx1-

1

3

+kx2-

1

3

)+m2
=（k²+1）x₁x₂-k（

1

3

+m）（x₁+x₂）+m²+

2

3

m+

1

9

=-

16(k2+1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

+m)•

4k

3(2k2+1)

+m²+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

，
由假设得对于任意的k∈R，

MA

•

MB

=0恒成立，
即

m2-1=0 9m2+m-15=0

，
解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．