Question

如图1，在Rt△ABC中，AB=BC=2，D，E分别是AB，AC的中点，将如图2所示中△ADE沿线段DE折起到△ADE，使平面ADE⊥平面DBCE．

（Ⅰ）当M是DE的中点时，证明BM⊥平面ACD；
（Ⅱ）设BE与DC相交于点N，求二面角B-AN-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件得AD⊥平面DBCE，从而AD⊥BM，由△BDM∽△CBD，得DC⊥BM，由此能证明BM⊥平面ACD．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出二面角B-AN-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由题意知∠ADE=90°，
∵平面ADF⊥平面DBCE，DE为两平面的交线，
∴AD⊥平面DBCE，
又∵BM?平面DBCE，∴AD⊥BM，
又∵

DB

BC

=

DM

DB

，∴△BDM∽△CBD，
∴∠BDC=∠DMB，
又∵∠BDC+∠CDM=90°，∴∠BMD+∠CDM=90°，
∴DC⊥BM，又∵AD∩CD=D，
∴BM⊥平面ACD．
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
A（0，0，1），B（1，0，0），E（0，1，0），M（0，

1

2

，0），

AB

=(1，0，-1)，

AE

=(0，1，-1)，
设

m

=(x，y，z)是平面的一个法向量，
则

AB • m =x-z=0 AE • m =y-z=0

，
取x=1，得

m

=(1，1，1)，
由（Ⅰ）平面ANC的法向量为

BM

=（-1，-

1

2

，0），
cos＜

BM

，

m

＞=

-1+ 1 2

3 • 1+ 1 4

=-

15

15

，
∴二面角B-AN-C的余弦值为-

15

15

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．