Question

已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线A₁Q和PD所成的角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，得∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角）．由此能求出两条异面直线A₁Q和PD所成的角的大小．

解答： 解：由PQ∥CD，且PQ=CD，知PD∥QC，
故∠A₁QC为异面直线A₁Q、PD所成的角（或其补角）．
由题设知A1Q2=A1

B

2 1

+B1Q2=22+

2

2=6，
A1C=

3

×2=2

3

，
取BC中点E，则QE⊥BC，且QE=3，
QC²=QE²+EC²=3²+1²=10．
由余弦定理，
得cosθ=cos∠A1QC=

A1Q2+QC2-A1C2

2A1Q•QC

=

6+10-12

2 6 • 10

=

15

15

．
∴两条异面直线A₁Q和PD所成的角θ=arccos

15

15

．

点评：本题考查两条异面直线所成角的大小的标法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．