Question

在等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，其前n项为S_n．
（1）求S_n的最小值，并求出S_n＜0时n的最大值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件求出a₁₇=-12，从而得到d=3，由此求出前n项和，利用配方法能求出S_n的最小值．由S_n＜0得

3

2

（n²-41n）＜0，解得即可．
（2）数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，所以当n≤21时，T_n=-S_n，当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁，由此利用分类讨论思想能求出T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵a₁₆+a₁₇+a₁₈=3a₁₇=-36，∴a₁₇=-12，
∴d=

a17-a9

17-9

=

24

8

=3，
∴a₉=a₁+8×3=-36，解得a₁=-60，
∴S_n=-60n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

（n²-41n）=

3

2

（n-

41

2

）²-

5043

8

，
∴当n=20或n=21时，S_n取最小值-630．
∵S_n=

3

2

（n²-41n）＜0
∴n＜41，
∴n的最大值为40．
（2））∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21，
∵a₂₀=3×20-63=-3＜0，a₂₁=3×21-63=0，
∴数列{a_n}中，前20项小于0，第21项等于0，以后各项均为正数，
当n≤21时，T_n=-S_n=-

n(-60+3n-63)

2

=-

3

2

n²+

123

2

n．
当n＞21时，T_n=S_n-2S₂₁=

n(-60+3n-63)

2

-2S₂₁=

3

2

n²-

123

2

n+1260．
综上，T_n=

- 3 2 n2+ 123 2 n，(n≤21．n∈N*) 3 2 n2- 123 2 n+1260，(n＞21，n∈N*)

．

点评：本题考查数列的前n项和的最小值的求法，考查数列的各项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．