Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC=2，CD=

3

，平面PAD⊥底面ABCD，若M为AD的中点，E是棱PC上的点．
（1）求证：平面EBM⊥平面PAD；
（2）若∠MEC=90°，求三棱锥A-BME的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明MBCD为平行四边形，进而证明BM⊥AD，利用平面PAD⊥平面ABCD，可得BM⊥面PAD，即可证明平面EBM⊥平面PAD；
（2）利用V_A-BME=V_E-ABM，即可求三棱锥A-BME的体积．

解答： （1）证明：∵M是AD的中点且AD=2，∴MD=1，
又∵AD∥BC，BC=1，
∴MBCD为平行四边形，
∵∠ADC=90°，DC∥MB，
∴∠AMB=90°即BM⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴BM⊥面PAD，∴平面EBM⊥面PAD（4分）
（2）解：∵AM=1，BM=3且BM⊥AM，
∴S△ABM=

3

2

．
过E做EG∥PM交MC于G，则
∵PM⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，
∴EG为三棱锥E-AMB的高，
在直角三角形PMC中：PM=

3

，MC=2
又ME⊥PC，∴ME=

2 3

7

，EC=

4

7

，
∴EG=

4 3

7

（10分）
∴VA=BME=VE-ABM=

1

3

×

4 3

7

×

3

2

=

2

7

（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定与性质，考查锥体体积的计算，正确运用平面与平面垂直的判定与性质，转换底面求体积是关键．