Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点为P，且PF₂⊥x轴，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，推断出|PF₁|=2|PF₂|，进而根据椭圆的定义分别表示出|PF₂|和|PF₁|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则椭圆离心率可得．

解答： 解：在Rt△PF₂F₁中，∠PF₁F₂=30°，|F₁F₂|=2c，|PF₁|=2|PF₂|，
根据椭圆的定义得|PF₂|=

2

3

a，|PF₁|=

4

3

a，
又|PF₁|²-|PF₂|²=|F₁F₂|²，即

16

9

a²-

4

9

a²=4c²，
∴e=

c

a

=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是灵活利用了椭圆的定义．