Question

已知f（x）=

3

（cos²x-sin²x）-2cos²（x+

π

4

）+1的定义域为[0，

π

2

]．
（1）求f（x）的最小值．
（2）△ABC中，A=45°，b=3

2

，边a的长为6，求角B大小及△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先化简的解析式，根据x的范围确定2x+

π

3

的范围，从而根据正弦函数的性质确定函数的最小值．
（2）先由正弦定理求得sinB，进而求得B，进而求得C，利用三角形面积公式求得答案．

解答： 解．（1）f（x）=

3

cos2x-[1+cos（2x+

π

2

）]+1=

3

cos2x+sin2x=2sin（2x+

π

3

）
由0≤x≤

π

2

，得

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，得-

3

2

≤sin（2x+

π

2

）≤1，
所以函数f（x）的最小值为2×（-

3

2

）=-

3

，此时x=

π

2

．
（2）△ABC中，A=45°，b=3

2

，a=6，故sinB=

bsinA

a

=

3 2 × 2 2

6

=

1

2

（正弦定理），
再由b＜a知B＜A=45°，故B=30°，于是C=180°-A-B=105°，从而△ABC的面积S=

1

2

absinC=

9( 3 +1)

2

．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用，正弦定理的应用．综合性强，难度适中．