Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2-

1

2n-1

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n，求证：

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

＞-2（n∈N^*，n≥2）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）依题意，根据根据S_n-S_n-1=a_n，可得数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，可求b_n=n，从而可求T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1．…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2n-1

，此式对n=1也成立．
∴a_n=

1

2n-1

．…（5分）
（2）证明：设b_n=log₂a_n，则b_n=1-n．…（7分）
∴{b_n}是首项为0，公差为-1的等差数列．　
∴T_n=-

n(n-1)

2

　…（10分）
∴

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=-2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=-2（1-

1

n

）＞-2…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与等差数列的求和公式，属于中档题．