Question

一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比，k为比例常数．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．

解答： 解：设船速度为x（x＞0）时，燃料费用为Q元，则Q=kx³，
由6=k×10³可得，k=

3

500

，
∴Q=

3

500

 x3，
∴总费用y=(

3

500

x3+96)•

1

x

=

3

500

x2+

96

x

，
∴y′=

6

500

x-

96

x2

，
令y′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减，
当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增，
∴当x=20时，y取得最小值．
答：此轮船以20公里/小时的速度使行驶每公里的费用总和最小．

点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想．