Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上，求此椭圆的离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立直线y=-x+1与直线l：x-2y=0得到线段AB的中点为（

2

3

，

1

3

），设y=-x+1与

x2

a2

+

y2

b2

=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点差法能求出椭圆的离心率．

解答： 解：联立直线y=-x+1与直线l：x-2y=0，得x=

2

3

，y=

1

3

，
∴直线y=-x+1与x-2y=0的交点为M（

2

3

，

1

3

），∴线段AB的中点为（

2

3

，

1

3

），
设y=-x+1与

x2

a2

+

y2

b2

=1的交点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4

3

，y₁+y₂=

2

3

，
分别把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
两式相减，得-

b2

a2

=-

1

2

，
∴a²=2b²，∴a=

2

b=

2

c，∴e=

2

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．