Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其中点E为棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）求AE与平面PDB所成的角的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中的三视图，我们可以判断出这是一个底面为边长是1的正方形，PD垂直于底面ABCD的四棱锥，E为PB的中点，根据正方形的性质及线面垂直的性质可得AC⊥BD，PD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，可得AC⊥平面PDB，再由面面垂直的判定定理，得到平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，结合（I）的结论，可得∠AEO为AE与平面PDB所成角，解三角形AEO，即可得到AE与平面PDB所成的角的大小．

解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?平面ABCD
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，
且PD?平面PDB，BD?平面PDB
∴AC⊥平面PDB，
∵AC?平面AEC
∴平面AAEC⊥平面PDB；
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，OE=

1

2

PD，又∵PD⊥底面ABCD，，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=

1

2

PD=

2

2

AB=AO，
∴∠AOE=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，平面与平面垂直的判定，其中（I）的关键是熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的相互转化，（II）的关键是判断出∠AEO为AE与平面PDB所成角．