Question

已知四面体ABCD（图1），沿AB、AC、AD剪开，展成的平面图形正好是图2所示的直角梯形A₁A₂A₃D（梯形的顶点A₁、A₂、A₃重合于四面体的顶点A）．
（1）证明：AB⊥CD．
（2）当A₁D=10，A₁A₂=8时，求四面体ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证AB⊥CD，先证AB⊥面ACD，在其展成的平面图形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，从而AB⊥AC，AB⊥AD，可得线面垂直，即可得线线垂直．
（2）要求四面体ABCD的体积，先确定其底面和高线，然后分别求其值，利用三棱锥的体积公式，即可得其体积．

解答：解：
（I）证明：由图2，A₁A₂A₃D为直角梯形，
得A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C．
即图1中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又AC∩AD=A，∴AB⊥面ACD．
∵CD?面ACD，∴AB⊥CD．
（II）在图2中，作DE⊥A₂A₃于E，
∵A₁A₂=8，∴DE=8，
又∵A₁D=A₃D=10，∴EA₃=6，∴A₂A₃=10+6=16．
而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即图1中AC=8，AD=10．
由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，得图1中AB=4．
S△ACD=S△A3CD=

1

2

×8×8=32．
由（I）知，AB⊥面ACD，∴VB-ACD=

1

3

×32×4=

128

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，注意辅助线的作法，是个中档题．