Question

已知函数，下列说法中正确的有    ．
（1）f（x）在R上有两个极值点；       
（2）f（x）在处取得最大值；
（3）f（x）在处取得最小值； 
（4）f（x）在处取得极小值
（5）函数f（x）在R上有三个不同的零点．

Answer 1

【答案】分析：依题意，可求得f′（x）=，利用f′（x）=0可判断（1），利用f（x）=0可判断（5），利用导数判断该函数的单调情况，从而可判断（2）（3）（4）．
解答：解：∵f′（x）==，
∴由f′（x）=0得：x=2-或x=2+．
∴（1）f（x）在R上有两个极值点，正确；
又当x=0或x=2时，f（x）=0，
∴函数f（x）在R上有两个不同的零点，故（5）错误；
由f′（x）＞0得2-＜x＜2+；
由f′（x）＜0得x＜2-或x＞2+．
∴函数f（x）=在（-∞，2-），（2+，+∞）上单调递减，在（2-，2+）上单调递增；
∴f（x）在x=2-处取得极小值，在x=2+处取得极大值，故（4）错误；
又f（2-）＜0，f（2+）＞0，
∴f（x）在x=2-处取得最小值，f（x）在x=2+取不到最大值，故（3）正确，（2）错误；
综上所述，（1）（3）正确．
故答案为：（1）（3）．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查根的存在性及根的个数判断，考查分析与运算的能力，属于中档题．