Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为F1（﹣ ，0），F2（ ，0），M是椭圆上一点，若 =0，| || |=8．
（1）求椭圆的方程；
（2）点P是椭圆上任意一点，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，直线PA1 ， PA2与直线x= 分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆交x轴于定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可设椭圆的标准方程为： + =1（a＞b＞0），

由 =0，∴ ⊥ ，设| |=m，| |=n．又| || |=8．

∴m2+n2= ，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．

解得：a=3，b=2．

∴椭圆的方程为 =1

（2）

解：由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0，y0），则直线PA1的方程为y= （x+3），它与直线x= 的交点的坐标为E ，

直线PA2的方程为：y= （x﹣3），它与直线x= 的交点的坐标为F ．

再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，

从而kQEkQF=﹣1，即 × × =﹣ ，

即 =﹣ ，又 =9 ．

∴ =1，解得m= ±1．

故以EF为直径的圆交x轴于定点，该定点的坐标为 ．

【解析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： + =1（a＞b＞0），由 =0，可得 ⊥ ，设| |=m，| |=n．又| || |=8．可得m2+n2= ，m+n=2a，mn=8，a2=b2+5．解出即可得出．（2）由（1）得A1（﹣3，0），A2（3，0），设P（x0 ， y0），则直线PA1的方程为y= （x+3），它与直线x= 的交点的坐标为E，直线PA2的方程为：y= （x﹣3），它与直线x= 的交点的坐标为F．再设以EF为直径的圆交x轴于点Q（m，0），则QE⊥QF，可得kQEkQF=﹣1，又 =9 ．即可得出．